Arbre et loi binomiale

X suit une loi de Bernoulli de paramètre p signifie que P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1 - p.

Soit X₁, X₂, ..., X_n des variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de même paramètre p. La variable aléatoire S_n = X₁ + X₂ + ... + X_n suit une loi binomiale de paramètre n et p.

Sur l'arbre ci-joint on peut remarquer que pour arriver à une branche correspondante à la valeur k (k variant de 0 à n) il faut emprunter k chemins montants et n - k chemins descendants. La probabilité est donc à chaque fois p^k(1 - p)^{n - k}.

Replier l'arbre (utiliser le curseur à droite du bouton ok) revient à regrouper les branches arrivant à la même valeur. On a dans ces conditions :

P (S_n = k) = p^k(1 - p)^{n - k} où est le nombre de chemins possibles pour arriver branche correspondante à la valeur k. Ce nombre appelé coefficient binomial, enoncé «k parmi n» s'obtient à partir d'un triangle de Pascal.