Le pendule simple

[ simulation du mouvement ]

Un pendule simple est formé d'une boule de masse m suspendu par un fil supposé sans masse et de longueur l.

Lorsqu'on écarte le pendule de sa position d'origine, le vecteur poids se décompose en une force ayant pour direction le fil et qui se trouve donc être opposée à la tension du fil et d'une force F normale au fil qui est responsable du mouvement de rappel.

De façon plus précise P = m g et F = m g sin a = m où est l'accélération tangentielle de la masse m.

Comme l'accélération angulaire a" vérifie on obtient :

(e) :

On ne sait pas résoudre directement cette équation mais si l'angle a est petit on peut remplacer sin a par a et (e) devient alors :

(e₁) :

(e₁) est une équation linéaire que l'on sait résoudre; en effet son équation caractéristique

a pour racines et (e₁) a donc pour solutions :, a₀ et étant des constantes dépendantes de la position et de la vitesse à l'instant initial.

De plus si a est petit et si le pendule subit un amortissement proportionnel à la vitesse angulaire alors l'équation différentielle devient :

(e₂) : où k est le coefficient d'amortissement.

(e₂) est une équation linéaire ; son équation caractéristique est C'est une équation du second degré de discriminant

Si , ce qui se produit lorsque , alors l'équation caractéristique a deux solutions complexes conjuguées : L'équation différentielle a dans ce cas pour solution : C'est ce qu'on appelle un régime pseudo-périodique. L'enveloppe de la courbe a pour équation et la pseudo-période est (k petit).
Si , ce qui se produit lorsque , alors l'équation caractéristique a une racine double et a est de la forme On dit que l'amortissement est critique.
Si , ce qui se produit lorsque , alors l'équation caractéristique a amortissement important) alors l'équation caractéristique a deux solutions réelles et Dans ces conditions a est de la forme : On dit dans ce cas que l'amortissement est surcritique.